## 解题思路： 题目要求打印 “从 $1$ 至 $cnt$ 的数字” ，因此需考虑以下两个问题： 1. **最大的 $cnt$ 位数（记为 $end$ ）和位数 $cnt$ 的关系：** 例如最大的 $1$ 位数是 $9$ ，最大的 $2$ 位数是 $99$ ，最大的 $3$ 位数是 $999$ 。则可推出公式： $$ end = 10^{cnt} - 1 $$ 2. **大数越界问题：** 当 $cnt$ 较大时，$end$ 会超出 $int32$ 整型的取值范围，超出取值范围的数字无法正常存储。但由于本题要求返回 int 类型数组，相当于默认所有数字都在 int32 整型取值范围内，因此不考虑大数越界问题。 因此，只需定义区间 $[1, 10^{cnt} - 1]$ 和步长 $1$ ，通过 $for$ 循环生成结果列表 $res$ 并返回即可。 ### 代码： ```Python [] class Solution: def countNumbers(self, cnt: int) -> List[int]: res = [] for i in range(1, 10 ** cnt): res.append(i) return res ``` ```Java [] class Solution { public int[] countNumbers(int cnt) { int end = (int)Math.pow(10, cnt) - 1; int[] res = new int[end]; for(int i = 0; i < end; i++) res[i] = i + 1; return res; } } ``` 利用 Python 的语言特性，可以简化代码：先使用 `range()` 方法生成可迭代对象，再使用 `list()` 方法转化为列表并返回即可。 ```Python class Solution: def countNumbers(self, cnt: int) -> List[int]: return list(range(1, 10 ** cnt)) ``` ### 复杂度分析： - **时间复杂度 $O(10^{cnt})$ ：** 生成长度为 $10^{cnt}$ 的列表需使用 $O(10^{cnt})$ 时间。 - **空间复杂度 $O(1)$ ：** 建立列表需使用 $O(1)$ 大小的额外空间（ 列表作为返回结果，不计入额外空间 ）。 ## 大数打印拓展： 实际上，本题的主要考点是大数越界情况下的打印。需要解决以下三个问题： **1. 表示大数的变量类型：** - 无论是 short / int / long ... 任意变量类型，数字的取值范围都是有限的。因此，大数的表示应用字符串 String 类型。 **2. 生成数字的字符串集：** - 使用 int 类型时，每轮可通过 $+1$ 生成下个数字，而此方法无法应用至 String 类型。并且， String 类型的数字的进位操作效率较低，例如 `"9999"` 至 `"10000"` 需要从个位到千位循环判断，进位 4 次。 - 观察可知，生成的列表实际上是 $cnt$ 位 $0$ - $9$ 的 **全排列** ，因此可避开进位操作，通过递归生成数字的 String 列表。 **3. 递归生成全排列：** - 基于分治算法的思想，先固定高位，向低位递归，当个位已被固定时，添加数字的字符串。例如当 $cnt = 2$ 时（数字范围 $1 - 99$ ），固定十位为 $0$ - $9$ ，按顺序依次开启递归，固定个位 $0$ - $9$ ，终止递归并添加数字字符串。 > 下图中的 `n` 对应本题中的 `cnt` 。 ![Picture1.png](https://pic.leetcode-cn.com/83f4b5930ddc1d42b05c724ea2950ee7f00427b11150c86b45bd88405f8c7c87-Picture1.png){:align=center width=500} 根据以上方法，可初步编写全排列代码： ```Python [] class Solution: def countNumbers(self, cnt: int) -> [int]: def dfs(x): if x == cnt: # 终止条件：已固定完所有位 res.append(''.join(num)) # 拼接 num 并添加至 res 尾部 return for i in range(10): # 遍历 0 - 9 num[x] = str(i) # 固定第 x 位为 i dfs(x + 1) # 开启固定第 x + 1 位 num = ['0'] * cnt # 起始数字定义为 cnt 个 0 组成的字符列表 res = [] # 数字字符串列表 dfs(0) # 开启全排列递归 return ','.join(res) # 拼接所有数字字符串，使用逗号隔开，并返回 ``` ```Java [] class Solution { StringBuilder res; int count = 0, cnt; char[] num, loop = {'0', '1', '2', '3', '4', '5', '6', '7', '8', '9'}; public String countNumbers(int cnt) { this.cnt = cnt; res = new StringBuilder(); // 数字字符串集 num = new char[cnt]; // 定义长度为 cnt 的字符列表 dfs(0); // 开启全排列递归 res.deleteCharAt(res.length() - 1); // 删除最后多余的逗号 return res.toString(); // 转化为字符串并返回 } void dfs(int x) { if(x == cnt) { // 终止条件：已固定完所有位 res.append(String.valueOf(num) + ","); // 拼接 num 并添加至 res 尾部，使用逗号隔开 return; } for(char i : loop) { // 遍历 ‘0‘ - ’9‘ num[x] = i; // 固定第 x 位为 i dfs(x + 1); // 开启固定第 x + 1 位 } } } ``` 在此方法下，各数字字符串被逗号隔开，共同组成长字符串。返回的数字集字符串如下所示： ```yaml 输入：n = 1 输出："0,1,2,3,4,5,6,7,8,9" 输入：n = 2 输出："00,01,02,...,10,11,12,...,97,98,99" 输入：n = 3 输出："000,001,002,...,100,101,102,...,997,998,999" ``` 观察可知，当前的生成方法仍有以下问题： 1. 诸如 $00, 01, 02, \cdots$ 应显示为 $0, 1, 2, \cdots$ ，即应 **删除高位多余的 $0$** ; 2. 此方法从 $0$ 开始生成，而题目要求 **列表从 $1$ 开始** ； 以上两个问题的解决方法如下： **1. 删除高位多余的 $0$ ：** - **字符串左边界定义：** 声明变量 $start$ 规定字符串的左边界，以保证添加的数字字符串 `num[start:]` 中无高位多余的 $0$ 。例如当 $cnt = 2$ 时，$1 - 9$ 时 $start = 1$ ，$10 - 99$ 时 $start = 0$ 。 - **左边界 $start$ 变化规律：** 观察可知，当输出数字的所有位都是 $9$ 时，则下个数字需要向更高位进 $1$ ，此时左边界 $start$ 需要减 $1$ （即高位多余的 $0$ 减少一个）。例如当 $cnt = 3$ （数字范围 $1 - 999$ ）时，左边界 $start$ 需要减 $1$ 的情况有： "009" 进位至 "010" ， "099" 进位至 "100" 。设数字各位中 $9$ 的数量为 $nine$ ，所有位都为 $9$ 的判断条件可用以下公式表示： $$ cnt - start = nine $$ - **统计 $nine$ 的方法：** 固定第 $x$ 位时，当 $i = 9$ 则执行 $nine = nine + 1$ ，并在回溯前恢复 $nine = nine - 1$ 。 **2. 列表从 $1$ 开始：** - 在以上方法的基础上，添加数字字符串前判断其是否为 `"0"` ，若为 `"0"` 则直接跳过。 ### 代码： 为 **正确表示大数** ，以下代码的返回值为数字字符串集拼接而成的长字符串。 ```Python [] class Solution: def countNumbers(self, cnt: int) -> [int]: def dfs(x): if x == cnt: s = ''.join(num[self.start:]) if s != '0': res.append(s) if cnt - self.start == self.nine: self.start -= 1 return for i in range(10): if i == 9: self.nine += 1 num[x] = str(i) dfs(x + 1) self.nine -= 1 num, res = ['0'] * cnt, [] self.nine = 0 self.start = cnt - 1 dfs(0) return ','.join(res) ``` ```Java [] class Solution { StringBuilder res; int nine = 0, count = 0, start, cnt; char[] num, loop = {'0', '1', '2', '3', '4', '5', '6', '7', '8', '9'}; public String countNumbers(int cnt) { this.cnt = cnt; res = new StringBuilder(); num = new char[cnt]; start = cnt - 1; dfs(0); res.deleteCharAt(res.length() - 1); return res.toString(); } void dfs(int x) { if(x == cnt) { String s = String.valueOf(num).substring(start); if(!s.equals("0")) res.append(s + ","); if(cnt - start == nine) start--; return; } for(char i : loop) { if(i == '9') nine++; num[x] = i; dfs(x + 1); } nine--; } } ``` 本题要求输出 int 类型数组。为 **运行通过** ，可在添加数字字符串 $s$ 前，将其转化为 int 类型。代码如下所示： ```Python [] class Solution: def countNumbers(self, cnt: int) -> [int]: def dfs(x): if x == cnt: s = ''.join(num[self.start:]) if s != '0': res.append(int(s)) if cnt - self.start == self.nine: self.start -= 1 return for i in range(10): if i == 9: self.nine += 1 num[x] = str(i) dfs(x + 1) self.nine -= 1 num, res = ['0'] * cnt, [] self.nine = 0 self.start = cnt - 1 dfs(0) return res ``` ```Java [] class Solution { int[] res; int nine = 0, count = 0, start, cnt; char[] num, loop = {'0', '1', '2', '3', '4', '5', '6', '7', '8', '9'}; public int[] countNumbers(int cnt) { this.cnt = cnt; res = new int[(int)Math.pow(10, cnt) - 1]; num = new char[cnt]; start = cnt - 1; dfs(0); return res; } void dfs(int x) { if(x == cnt) { String s = String.valueOf(num).substring(start); if(!s.equals("0")) res[count++] = Integer.parseInt(s); if(cnt - start == nine) start--; return; } for(char i : loop) { if(i == '9') nine++; num[x] = i; dfs(x + 1); } nine--; } } ``` ### 复杂度分析： - **时间复杂度 $O(10^{cnt})$ ：** 递归的生成的排列的数量为 $10^{cnt}$ 。 - **空间复杂度 $O(10^{cnt})$ ：** 结果列表 $res$ 的长度为 $10^{cnt} - 1$ ，各数字字符串的长度区间为 $1, 2, ..., cnt$ ，因此占用 $O(10^{cnt})$ 大小的额外空间。