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3.4 KiB
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分割統治検索戦略
私たちは検索アルゴリズムが主に2つのカテゴリに分類されることを学びました。
- 総当たり検索：データ構造を走査することで実装され、時間計算量は
O(n)です。 - 適応検索：独特なデータ組織形式や事前情報を利用し、時間計算量は
O(\log n)またはO(1)に達することができます。
実際、時間計算量が O(\log n) の検索アルゴリズムは通常分割統治戦略に基づいています。例えば、二分探索や木などです。
- 二分探索の各ステップは、問題（配列内でターゲット要素を検索する）をより小さな問題（配列の半分でターゲット要素を検索する）に分割し、配列が空になるかターゲット要素が見つかるまで続けます。
- 木は分割統治のアイデアを表現し、二分探索木、AVL木、ヒープなどのデータ構造では、様々な操作の時間計算量は
O(\log n)です。
二分探索の分割統治戦略は以下の通りです。
- 問題を分割できる：二分探索は元の問題（配列内での検索）を部分問題（配列の半分での検索）に再帰的に分割し、中間要素とターゲット要素を比較することで実現されます。
- 部分問題は独立している：二分探索では、各ラウンドで一つの部分問題を処理し、他の部分問題に影響されません。
- 部分問題の解をマージする必要がない：二分探索は特定の要素を見つけることを目的としているため、部分問題の解をマージする必要がありません。部分問題が解決されると、元の問題も解決されます。
分割統治は検索効率を向上させることができます。なぜなら、総当たり検索はラウンドごとに1つの選択肢しか除去できませんが、分割統治は選択肢の半分を除去できるからです。
分割統治に基づく二分探索の実装
前の章では、二分探索は反復に基づいて実装されました。今度は、分割統治（再帰）に基づいて実装します。
!!! question
長さ $n$ の順序付けられた配列 `nums` が与えられ、すべての要素が一意である場合、要素 `target` を見つけてください。
分割統治の観点から、検索区間 [i, j] に対応する部分問題を f(i, j) と表します。
元の問題 f(0, n-1) から開始して、以下のステップで二分探索を実行します。
- 検索区間
[i, j]の中点mを計算し、それを使用して検索区間の半分を除去します。 - 半分のサイズに縮小された部分問題を再帰的に解決します。これは
f(i, m-1)またはf(m+1, j)になる可能性があります。 targetが見つかるか区間が空になってリターンするまで、ステップ1.と2.を繰り返します。
以下の図は、配列内で要素 6 を探す二分探索の分割統治過程を示しています。
実装コードでは、問題 f(i, j) を解決するために再帰関数 dfs() を宣言します：
[file]{binary_search_recur}-[class]{}-[func]{binary_search}