LeetCode-Book/leetbook_ioa/docs/LCR 160. 数据流中的中位数.md

解题思路：

给定一长度为 N 的无序数组，其中位数的计算方法：首先对数组执行排序（使用 O(N \log N) 时间），然后返回中间元素即可（使用 O(1) 时间）。

针对本题，根据以上思路，可以将数据流保存在一个列表中，并在添加元素时 保持数组有序 。此方法的时间复杂度为 O(N) ，其中包括： 查找元素插入位置 O(\log N) （二分查找）、向数组某位置插入元素 O(N) （插入位置之后的元素都需要向后移动一位）。

借助 堆 可进一步优化时间复杂度。

建立一个 小顶堆 A 和 大顶堆 B ，各保存列表的一半元素，且规定：

• A 保存 较大 的一半，长度为 $\frac{N}{2}$（ N 为偶数）或 $\frac{N+1}{2}$（ N 为奇数）；
• B 保存 较小 的一半，长度为 $\frac{N}{2}$（ N 为偶数）或 $\frac{N-1}{2}$（ N 为奇数）；

随后，中位数可仅根据 A, B 的堆顶元素计算得到。

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算法流程：

设元素总数为 N = m + n ，其中 m 和 n 分别为 A 和 B 中的元素个数。

addNum(num) 函数：

1. 当 $m = n$（即 N 为 偶数）：需向 A 添加一个元素。实现方法：将新元素 num 插入至 B ，再将 B 堆顶元素插入至 A ；
2. 当 $m \ne n$（即 N 为 奇数）：需向 B 添加一个元素。实现方法：将新元素 num 插入至 A ，再将 A 堆顶元素插入至 B ；

假设插入数字 num 遇到情况 1. 。由于 num 可能属于 “较小的一半” （即属于 B ），因此不能将 nums 直接插入至 A 。而应先将 num 插入至 B ，再将 B 堆顶元素插入至 A 。这样就可以始终保持 A 保存较大一半、 B 保存较小一半。

findMedian() 函数：

1. 当 $m = n$（ N 为 偶数）：则中位数为 ( A 的堆顶元素 + B 的堆顶元素 $)/2$。
2. 当 $m \ne n$（ N 为 奇数）：则中位数为 A 的堆顶元素。

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代码：

Python 中 heapq 模块是小顶堆。实现 大顶堆 方法： 小顶堆的插入和弹出操作均将元素 取反 即可。 Java 使用 PriorityQueue<>((x, y) -> (y - x)) 可方便实现大顶堆。 C++ 中 greater 为小顶堆，less 为大顶堆。

from heapq import *

class MedianFinder:
    def __init__(self):
        self.A = [] # 小顶堆，保存较大的一半
        self.B = [] # 大顶堆，保存较小的一半

    def addNum(self, num: int) -> None:
        if len(self.A) != len(self.B):
            heappush(self.A, num)
            heappush(self.B, -heappop(self.A))
        else:
            heappush(self.B, -num)
            heappush(self.A, -heappop(self.B))

    def findMedian(self) -> float:
        return self.A[0] if len(self.A) != len(self.B) else (self.A[0] - self.B[0]) / 2.0

class MedianFinder {
    Queue<Integer> A, B;
    public MedianFinder() {
        A = new PriorityQueue<>(); // 小顶堆，保存较大的一半
        B = new PriorityQueue<>((x, y) -> (y - x)); // 大顶堆，保存较小的一半
    }
    public void addNum(int num) {
        if(A.size() != B.size()) {
            A.add(num);
            B.add(A.poll());
        } else {
            B.add(num);
            A.add(B.poll());
        }
    }
    public double findMedian() {
        return A.size() != B.size() ? A.peek() : (A.peek() + B.peek()) / 2.0;
    }
}

class MedianFinder {
public:
    priority_queue<int, vector<int>, greater<int>> A; // 小顶堆，保存较大的一半
    priority_queue<int, vector<int>, less<int>> B; // 大顶堆，保存较小的一半
    MedianFinder() { }
    void addNum(int num) {
        if(A.size() != B.size()) {
            A.push(num);
            B.push(A.top());
            A.pop();
        } else {
            B.push(num);
            A.push(B.top());
            B.pop();
        }
    }
    double findMedian() {
        return A.size() != B.size() ? A.top() : (A.top() + B.top()) / 2.0;
    }
};

Push item on the heap, then pop and return the smallest item from the heap. The combined action runs more efficiently than heappush() followed by a separate call to heappop().

根据以上文档说明，可将 Python 代码优化为：

from heapq import *

class MedianFinder:
    def __init__(self):
        self.A = [] # 小顶堆，保存较大的一半
        self.B = [] # 大顶堆，保存较小的一半

    def addNum(self, num: int) -> None:
        if len(self.A) != len(self.B):
            heappush(self.B, -heappushpop(self.A, num))
        else:
            heappush(self.A, -heappushpop(self.B, -num))

    def findMedian(self) -> float:
        return self.A[0] if len(self.A) != len(self.B) else (self.A[0] - self.B[0]) / 2.0

复杂度分析：

• 时间复杂度：
  • 查找中位数 O(1) ： 获取堆顶元素使用 O(1) 时间；
  • 添加数字 O(\log N) ： 堆的插入和弹出操作使用 O(\log N) 时间。
• 空间复杂度 O(N) ： 其中 N 为数据流中的元素数量，小顶堆 A 和大顶堆 B 最多同时保存 N 个元素。