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解题思路：
设将长度为 n 的竹子切为 a 段：
n = n_1 + n_2 + ... + n_a
本题等价于求解：
\max(n_1 \times n_2 \times ... \times n_a)
以下数学推导总体分为两步：(1) 当所有绳段长度相等时，乘积最大。(2) 最优的绳段长度为
3。
数学推导：
以下公式为“算术几何均值不等式” ，等号当且仅当 n_1 = n_2 = ... = n_a 时成立。
\frac{n_1 + n_2 + ... + n_a}{a} \geq \sqrt[a]{n_1 n_2 ... n_a}
推论一： 将竹子 以相等的长度等分为多段 ，得到的乘积最大。
设将竹子按照 x 长度等分为 a 段，即 n = ax ，则乘积为 x^a 。观察以下公式，由于 n 为常数，因此当 x^{\frac{1}{x}} 取最大值时， 乘积达到最大值。
x^a = x^{\frac{n}{x}} = (x^{\frac{1}{x}})^n
根据分析，可将问题转化为求 y = x^{\frac{1}{x}} 的极大值，因此对 x 求导数。
\begin{aligned}
\ln y & = \frac{1}{x} \ln x & \text{取对数} \\
\frac{1}{y} \dot {y} & = \frac{1}{x^2} - \frac{1}{x^2} \ln x & \text{对 $x$ 求导} \\
& = \frac{1 - \ln x}{x^2} \\
\dot {y} & = \frac{1 - \ln x}{x^2} x^{\frac{1}{x}} & \text{整理得}
\end{aligned}
令 \dot {y} = 0 ，则 1 - \ln x = 0 ，易得驻点为 x_0 = e \approx 2.7 ；根据以下公式，可知 x_0 为极大值点。
\dot {y}
\begin{cases}
> 0 & , x \in [- \infty, e) \\
< 0 & , x \in (e, \infty] \\
\end{cases}
由于切分长度 x 必须为整数，最接近 e 的整数为 2 或 3 。如下式所示，代入 x = 2 和 x = 3 ，得出 x = 3 时，乘积达到最大。
y(3) = 3^{1/3} \approx 1.44 \\
y(2) = 2^{1/2} \approx 1.41
口算对比方法：给两数字同时取 6 次方，再对比。
y(3)^6 = (3^{1/3})^6 = 9 \\
y(2)^6 = (2^{1/2})^6 = 8
推论二： 尽可能将竹子以长度
3等分为多段时，乘积最大。
切分规则：
- 最优：
3。把竹子尽可能切为多个长度为3的片段，留下的最后一段竹子的长度可能为0,1,2三种情况。 - 次优：
2。若最后一段竹子长度为2；则保留，不再拆为1+1。 - 最差：
1。若最后一段竹子长度为1；则应把一份3 + 1替换为 $2 + 2$，因为 $2 \times 2 > 3 \times 1$。
算法流程：
- 当
n \leq 3时，按照规则应不切分，但由于题目要求必须剪成m>1段，因此必须剪出一段长度为1的竹子，即返回n - 1。 - 当
n>3时，求n除以3的 整数部分a和 余数部分b（即n = 3a + b），并分为以下三种情况：- 当
b = 0时，直接返回 $3^a$； - 当
b = 1时，要将一个1 + 3转换为 $2+2$，因此返回 $3^{a-1} \times 4$； - 当
b = 2时，返回 $3^a \times 2$。
- 当
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代码：
Python 中常见有三种幂计算函数：
*和pow()的时间复杂度均为O(\log a)；而math.pow()始终调用 C 库的pow()函数，其执行浮点取幂，时间复杂度为O(1)。
class Solution:
def cuttingBamboo(self, bamboo_len: int) -> int:
if bamboo_len <= 3: return bamboo_len - 1
a, b = bamboo_len // 3, bamboo_len % 3
if b == 0: return int(math.pow(3, a))
if b == 1: return int(math.pow(3, a - 1) * 4)
return int(math.pow(3, a) * 2)
class Solution {
public int cuttingBamboo(int bamboo_len) {
if(bamboo_len <= 3) return bamboo_len - 1;
int a = bamboo_len / 3, b = bamboo_len % 3;
if(b == 0) return (int)Math.pow(3, a);
if(b == 1) return (int)Math.pow(3, a - 1) * 4;
return (int)Math.pow(3, a) * 2;
}
}
class Solution {
public:
int cuttingBamboo(int bamboo_len) {
if(bamboo_len <= 3) return bamboo_len - 1;
int a = bamboo_len / 3, b = bamboo_len % 3;
if(b == 0) return pow(3, a);
if(b == 1) return pow(3, a - 1) * 4;
return pow(3, a) * 2;
}
};
复杂度分析：
- 时间复杂度
O(1)： 仅有求整、求余、次方运算。 - 空间复杂度
O(1)： 变量a和b使用常数大小额外空间。
贪心思路：
数学推导需要一定的知识基础，贪心算法的思路更加适合快速解题。
设一竹子长度为
n(n>1)，则其必可被切分为两段n=n_1+n_2。 根据经验推测，切分的两数字乘积往往原数字更大，即往往有n_1 \times n_2 > n_1 + n_2 = n。
- 例如竹子长度为
6：6 = 3 + 3 < 3 \times 3 = 9；- 也有少数反例，例如
2：2 = 1 + 1 > 1 \times 1 = 1。
- 推论一： 合理的切分方案可以带来更大的乘积。
设一竹子长度为
n(n>1)，切分为两段n=n_1+n_2，切分为三段n=n_1+n_2+n_3。 根据经验推测，三段 的乘积往往更大，即往往有n_1 n_2 n_3 > n_1 n_2。
- 例如竹子长度为
9： 两段9=4+5和 三段 $9=3+3+3$，则有4 \times 5 < 3 \times 3 \times 3。- 也有少数反例，例如
6： 两段6=3+3和 三段 $6=2+2+2$，则有3 \times 3 > 2 \times 2 \times 2。
- 推论二： 若切分方案合理，竹子段切分的越多，乘积越大。
总体上看，貌似长竹子切分为越多段乘积越大，但其实到某个长度分界点后，乘积到达最大值，就不应再切分了。 问题转化： 是否有优先级最高的长度
x存在？若有，则应该尽可能把竹子以x长度切为多段，以获取最大乘积。
- 推论三： 为使乘积最大，只有长度为
2和3的竹子不应再切分，且3比2更优 （详情见下表） 。
| 竹子切分方案 | 乘积 | 结论 |
|---|---|---|
2 = 1 + 1 |
1 \times 1 = 1 |
2 不应切分 |
3=1+2 |
1 \times 2 = 2 |
3 不应切分 |
4=2+2=1+3 |
2 \times 2 = 4 > 1 \times 3 = 3 |
4 和 2 等价，且 2+2 比 1+3 更优 |
5=2+3=1+4 |
2 \times 3 = 6 > 1 \times 4 = 4 |
5 应切分为 2+3 |
6=3+3=2+2+2 |
3 \times 3 = 9 > 2 \times 2 \times 2 = 8 |
6 应切分为 3+3 ，进而推出 3 比 2 更优 |
>7 |
... | 长绳（长度>7）可转化为多个短绳（长度1~6），因此肯定应切分 |